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写在前面

总结一下含参量正常积分、含参量反常积分、Euler积分，这部分内容主要为曲线积分曲面积分以及多重积分做铺垫。主要参考《数学分析(第四版)下册》(华东师范大学数学系编)。

含参量积分

$$\begin{array}{rl}\phi (x)& ={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y\\ F(x)& ={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

研究上面两种类型的积分。

含参量正常积分

定理1：积分的连续性

若二元函数$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，则函数
$$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$$
在$[a,b]$上连续。

定理2：变限积分的连续性

设二元函数$f(x,y)$在区域
G = { ( x ,   y ) ∣ c ( x ) ⩽ t ⩽ d ( x ) ,   a ⩽ x ⩽ b } G=\{(x,\,y)\big|c(x)\leqslant t \leqslant d(x),\,a\leqslant x\leqslant b\} G={ (x,y)∣∣​c(x)⩽t⩽d(x),a⩽x⩽b}
上连续，其中$c(x),d(x)$为$[a,b]$上的连续函数，则函数
$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$
在$[a,b]$上连续。

定理3：积分可微性(换序)

若函数$f(x,y)$与其偏导数$\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)$都在矩形区域$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，则
$$\phi (x)={\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y$$
在$[a,b]$上可微，且
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\mathrm{d}y$$

$★$定理4：变限积分可微性

设$f(x,y),f_x(x,y)$在$R=[a,b]\times [p,q]$上连续，$c(x),d(x)$为定义在$[a,b]$上其值含于$[p,q]$内的可微函数，则函数
$$F(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$
在$[a,b]$上可微，且
$$F^{\prime }(x)={\int }_{c(x)}^{d(x)}{f}_x(x,y)\mathrm{d}y+f(x,d(x))d^{\prime }(x)-f(x,c(x))c^{\prime }(x).$$

定理5：可积性

若函数$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，则$\phi (x)$和$\psi (y)$分别在$[a,b]$和$[c,d]$上可积。

定理6：可积性——累次(二次)积分换序

若函数$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b]\times [c,d]$上连续，则
$${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x.$$

根据上面的定理，可以建立关于正常积分（区别于反常积分）的含参量积分。

例题

$$I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

这个积分也被称为Serret积分，可以推广为更加一般的情况，即：

$${\int }_0^a\frac{\ln (x+a)}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{8a}\ln (2a^2).$$

初看此积分并不含有参量，于是自然得到法一：

法一：直接积分

注意到分母部分恰好为$\arctan x$的导函数，于是换元，令$t=\arctan x$, 则$x=\tan t$, 则有

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left(\frac{\cos t+\sin t}{\cos t}\right)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left[\frac{\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-t)}{\cos t}\right]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left[\sqrt{2}\cos \right(\frac{\pi }{4}-t\left)\right]\mathrm{d}t-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos t\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left(\sqrt{2}\cos u\right)\mathrm{d}u-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos t\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{4}\ln \sqrt{2}+{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos u\mathrm{d}u-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos t\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{8}\ln 2\end{array}$$

上面的计算步骤也可以简化，使用换元法：令$u=\frac{\pi }{4}-t$，于是可以得到

$$\begin{array}{rl}I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan (\frac{\pi }{4}-u))\mathrm{d}u\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u})\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left(\frac{2}{1+\tan u}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{\pi }{4}\ln 2-I\end{array}$$
从而$I=\frac{\pi }{8}\ln 2$.

法二：利用含参量积分

构造含参量积分如下，该被积函数显然满足定理3的条件。
$$\begin{array}{r}I(\alpha )={\int }_0^1\frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^2}\mathrm{d}x\end{array}$$
应用定理3，对$\alpha$求导得(红色部分由待定系数法求得)
$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }(\alpha )& ={\int }_0^1\frac{x}{(1+\alpha x)\cdot (1+x^2)}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{1+{\alpha }^2}(\frac{\alpha +x}{1+x^2}-\frac{\alpha }{1+\alpha x})\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{1+{\alpha }^2}({\int }_0^1\frac{\alpha }{1+x^2}\mathrm{d}x+{\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x-{\int }_0^1\frac{\alpha }{1+\alpha x}\mathrm{d}x)\\ & =\frac{1}{1+{\alpha }^2}[\alpha \cdot \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2-\ln (1+\alpha )]\end{array}$$
所以
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{I}^{\prime }(\alpha )\mathrm{d}\alpha & =I(1)-I(0)=I(1)\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{1+{\alpha }^2}[\alpha \cdot \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2-\ln (1+\alpha )]\mathrm{d}\alpha \\ & =\frac{\pi }{8}\ln (1+{\alpha }^2){|}_0^1+\frac{1}{2}\ln 2\arctan \alpha {|}_0^1-I(1)\\ & =\frac{\pi }{4}\ln 2-I(1)\end{array}$$
得到$I(1)=\frac{\pi }{8}\ln 2$.

含参量反常积分

含参量反常积分需要考虑其收敛性，下面介绍一些定义与定理。

定义1：含参量反常积分的一致收敛

设函数$f(x,y)$定义在无界区域 R = { ( x ,   y ) ∣ x ∈ I ,   c ⩽ y < + ∞ } R=\{(x,\,y)\big|x\in I,\,c\leqslant y<+\infty\} R={ (x,y)∣∣​x∈I,c⩽y<+∞}, 若含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$与函数$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$ 对$\forall \epsilon >0,\exists N>c$, s.t.$M>N$时，对一切$x\in [a,b]$都有
$$\left|{\int }_c^{M}f(x,y)\mathrm{d}y-\Phi (x)\right|=\left|{\int }_M^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y\right|<\epsilon ,$$
则称含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛于$\Phi (x)$, 或称含参量积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛。

定理1：一致收敛的柯西准则

含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛$⟺\forall \epsilon >0,\exists M>c,\text{s.t.}{A}_1,A_2>M$时，对一切$x\in I$, 都有
$$\left|{\int }_{A_1}^{A_2}f(x,y)\mathrm{d}y\right|<\epsilon .$$
由上述定理可得：

含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛$$⟺\underset{A\to +\infty }{\lim }\underset{x\in I}{\sup }\left|{\int }_A^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y\right|=0$$.

定理2：含参量反常积分与函数项级数一致收敛性的关系

含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛$⟺$对任一区域$+\infty$的递增数列 { A n } \{A_n\} { An​}(其中$A_1=c$)，函数项级数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)\mathrm{d}y=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$$
在$I$上一致收敛。

魏尔斯特拉斯$M$判别法

设有函数$g(y)$，使得
$$\left|f(x,y)\right|⩽g(y),(x,y)\in I\times [c,+\infty ).$$
若${\int }_c^{+\infty }g(y)\mathrm{d}y$收敛，则${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛。

狄利克雷判别法

1. 对一切实数$N>c$，含参量正常积分${\int }_c^{N}f(x,y)\mathrm{d}y$对参量$x$在$I$上一致有界，即存在$M>0$，对一切$N>c$及一切$x\in I$，都有

   $$\left|{\int }_c^{N}f(x,y)\mathrm{d}y\right|⩽M.$$

2. 对每个$x\in I$，函数$g(x,y)$关于$y$是单调递减且当$y\to +\infty$时，对参量$x$，$g(x,y)$一致地收敛于$0$.

则含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛。

阿贝尔判别法

1. ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛.
2. 对每个$x\in I$，函数$g(x,y)$为$y$的单调函数。且对参量$x$，$g(x,y)$在$I$上一致有界.

则含参量反常积分${\int }_c^{+\infty }f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛。

常用性质

连续性：积分与极限换序

设$f(x,y)$在$I\times [c,+\infty )$上连续，若含参量反常积分$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛，则$\Phi (x)$在$[a,b]$上连续。

推论

设$f(x,y)$在$I\times [c,+\infty )$上连续，若含参量反常积分$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上内闭一致收敛，则$\Phi (x)$在$[a,b]$上连续。

可微性：求导与积分换序

设$f(x,y),f_x(x,y)$在$I\times [c,+\infty ]$上连续，若$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上收敛，${\int }_c^{+\infty }{f}_x(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上一致收敛，则$\Phi (x)$在$I$上可微，且
$${\Phi }^{\prime }(x)={\int }_c^{+\infty }{f}_x(x,y)\mathrm{d}y.$$

推论

设$f(x,y),f_x(x,y)$在$I\times [c,+\infty ]$上连续，若$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上收敛，${\int }_c^{+\infty }{f}_x(x,y)\mathrm{d}y$在$I$上内闭一致收敛，则$\Phi (x)$在$I$上可微，且
$${\Phi }^{\prime }(x)={\int }_c^{+\infty }{f}_x(x,y)\mathrm{d}y.$$

可积性：积分之间换序

设$f(x,y)$在$[a,b]\times [c,+\infty )$上连续，若$\Phi (x)={\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$在$[a,b]$上一致收敛，则$\Phi (x)$在$[a,b]$上可积，且
$${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\mathrm{d}x.$$

$x$的取值范围推广到无限区间

设$f(x,y)$在$[a,+\infty )\times [c,+\infty )$上连续，若

1. ${\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y$关于$y$在$[c,+\infty )$上内闭一致收敛，关于$x$在$[a,+\infty )$上内闭一致收敛.

2. 积分
   $${\int }_a^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y{\int }_c^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_a^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x$$
   中有一个收敛.

则

$${\int }_a^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_c^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y={\int }_c^{+\infty }\mathrm{d}y{\int }_a^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x.$$

常用的含参量积分——Euler积分简介

Euler积分有以下两种类型，其中$\Gamma$函数主要用于阶乘向负实数的推广，在数论中有更广泛的应用。

通过二者的一些性质均可以使一些形式的积分求解更加方便。

$\Gamma$函数

定义

$$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\lambda }^s{\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x,s>0.$$

性质

1. $\Gamma (s)$在定义域$s>0$内连续可导；

2. 满足递推关系：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$；

3. $\Gamma (n+1)=n!{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=n!$；

4. 余元公式：
   $$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s},0<s<1.$$
   当$s=\frac{1}{2}$时有$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$.

$\mathrm{B}$函数

定义

$$\mathrm{B}(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}\mathrm{d}x,p>0,q>0.$$

性质

1. $\mathrm{B}(p,q)$在定义域$p>0,q>0$内连续；

2. 对称性：$\mathrm{B}(p,q)=\mathrm{B}(q,p)$；

3. 递推公式：
   $$\begin{array}{rl}\mathrm{B}(p,q)& =\frac{q-1}{p+q-1}\mathrm{B}(p,q-1)(p>0,q>1),\\ \mathrm{B}(p,q)& =\frac{p-1}{p+q-1}\mathrm{B}(p-1,q)(p>1,q>0),\\ \mathrm{B}(p,q)& =\frac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)}\mathrm{B}(p-1,q-1)(p>1,q>1).\end{array}$$

4. 与$\Gamma$函数的关系：
   $$\mathrm{B}(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}(p>0,q>0).$$

参考

转载地址：http://uvzg.baihongyu.com/